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函数收敛是由函数收敛于某一点的定义推导出来的。函数收敛于某一点。意思是当自变量趋于这一点时，其函数值的极限等于函数在该点的值。如果函数在 的每个点处都在定义域内收敛，则通常称该函数收敛。有界不等于收敛。
函数收敛与有界的关系有界不一定收敛。
函数收敛：
1.若收敛于x0，则必定存在x0的核域，函数在该核域中有界。
2.当x趋于无穷大时收敛。以正无穷大为例，必然有M个，使得函数有界于[M,+∞)上。
通常，连续函数在闭区间内有界。例如：y=x+6在[1, 2]上的最小值为7，最大值为8，所以它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但是正切函数在有意义的区间内是无界的，比如(-π/2, π/2)。
特性：
无穷小和有界函数的乘积仍然是无穷小。
收敛和收敛这两个词（在外语中通常是同一个词）有时泛指一个函数或数列是否具有极限性质，或者在什么意义上（什么极限过程）有极限。
从这个意义上讲，数学分析（不同类型的极限过程）所讨论的收敛性的不同含义大致包括：对数序列（点序列）只讨论其项数趋于无穷大时的收敛性。
对于一元和多元函数，最基本的两种收敛类型是自变量趋于固定值（不动点）和自变量趋于无穷大；对于多元函数，也有沿特殊路径收敛和迭代极限意义上的收敛两种；对函数序列（级数）有逐点收敛和一致收敛。
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