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|ab||cd|=ad-cb。左矩阵第一行元素分别乘以右矩阵第一列元素，求和得到乘法矩阵第一行第一个元素；左矩阵第一行的元素分别乘以右矩阵第二列的元素逐元素相乘和相加得到乘积矩阵第一行的第二个元素；等等。
矩阵是高等代数中的常用工具，在统计分析等应用数学中也很常见。在物理学中，矩阵用于电路、力学、光学和量子物理学；在计算机科学中，矩阵也用于 3D 动画。矩阵运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论上和实践上简化矩阵运算。对于一些广泛使用的特殊形式的矩阵，如稀疏矩阵和拟对角矩阵，有特定的快速运算算法。
在数学中，矩阵是一组按矩形排列的复数或实数，起源于由方程组的系数和常数组成的方阵。这个概念最早是由19世纪英国数学家凯利提出的。作为求解线性方程组的工具，矩阵也有着悠久的历史。第一本书写于东汉初年的《算术九章》，用分离系数法表示线性方程组，求得其增矩阵。在消元过程中，某一行乘以某一非零实数，某一行减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但是那个时候还没有今天理解的矩阵这个概念。虽然在形式上与现有的矩阵相同，但当时只是作为线性方程组的一种标准表示和处理方法。
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