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随着高考数学考试的结束，2021年高考的第一天落下帷幕。高考数学向来是备受考生吐槽的科目，今年高考结束后，微博网友依旧是各式各样的花式吐槽。那么，今年高考数学的难度究竟如何呢？相比往年又有哪些变化呢？高一高二的考生在备战高考数学时要吸取哪些经验呢？ 7月7日晚上20：00，新浪教育特约作业帮高考数学名师肖晗做客新浪直播间，在高考数学结束后第一时间与广大考生和家长聊聊2021高考数学真题，并做权威解读和分析，同时给未来的高考学生提供实用的方法和技巧。 以下为直播访谈实录： 主持人：欢迎新浪及新浪微博的网友收看新浪教育的《高考直播间》，我是主持人石毅。今天就是我们高考第一天，有1071万的考生走进了考场来完成他们的人生大考，尤其今年是疫情特殊性，所以高考延迟了一个月的时间，在今天正式开考。在今天是继上海、浙江之后，北京、山东、天津、海南等省份将进行新高考改革下的第一次高考。对于考生来说2021年的高考对于他们来说一定是一段记忆犹新的一个时刻。 作为全国人民非常关注的年度大考，每一年的高考都是牵动了无数人的心，为了帮助今年的高考考生更加深入的了解我们的题，而且是让他们能够精准的估分。我们特别邀请到了“名师有大招，解题更高效”的作业帮直播课的资深老师。作业帮累计用户超8亿，在线教育引领者。我们欢迎肖晗老师，首先做一个自我介绍。 肖晗：Hello，各位朋友，大家好，我是作业帮直播课高考研究院高中数学首席讲师，我叫肖晗。我特别开心今天能来到新浪这边跟咱们一块来聊一聊今年的高考，尤其是大家每年吐槽特别多的高考数学这一块。 我给大家做一个自我介绍，我是在07年的时候以全省第二名成绩考入清华大学，自己的高考总分是702分，数学满分。我自己在毕业之后就一直在教育行业里深耕，所以到现在差不多教了有十年，我们日常的工作，包括上课、备课、教研，其实我们很多的精力会花在研究总结每年的高考题。甚至我们会看一下最近30年，甚至从78年，就是高考恢复第一年开始的题目，就是它到底会有一些什么样的变化，所以我们今天也特别、特别期待能够给大家来分享一下关于今年高考试卷的一些变化。 主持人：今天在我们直播间的课件上我们也收集到了网友们，尤其是考生们，刚考完出来之后在网上报了一些题目，肖晗老师用一个小时不到的时间就疯狂了来总结这些题目，我们今天的直播非常、非常紧张，因为时间特别紧凑，所以希望我们今天的直播能够帮助到刚刚考完的高三的学生，更重要的是我们也想帮助正在上高一或高二的学生，他们在明年或者后年要参加高考的时候，他们要做一些什么样的准备。我特别想以主持人身份问一问，当年数学满分是一个什么样的心情，知道数学满分。 肖晗：当时不是等到查成绩，考完试就知道自己今年稳了。当年我自己去参加高考的时候，07年，因为我们是下午3点钟考试，我大概考到4点20分，4点30不到，整套试卷都做完了。 主持人：这么厉害？ 肖晗：对，大概1个小时20分钟左右。高考题我们说它每年虽然都会有不一样的题目出现，但其实它很多题目在里边它命题规律是一样的，是相通的。那年我考完，现在回头想想觉得自己当时还挺年轻的，就年轻气盛，当时考完试直接趴在考场里面睡觉了。 主持人：那就算是一种提前交卷的方式了。 肖晗：对。 主持人：只是没走，就趴着睡了。 肖晗：对，当时老师千叮咛万嘱咐，就是一定、一定再检查、再检查、再检查，不让我们提前交试卷，当时我自己心里面挺想提前走的。 主持人：就是满足了我小小的心愿，今天我能够和学霸肖晗老师一起来做今天的节目特别的开心。大家可以看到屏幕上会有我们肖晗老师写的“数学考试结束了”，其实要为我们考生们感到自信，就是完成了一科可能还比较烧脑的科目。 肖晗：对，数学放在每年高考第一天，作为下午场考完，对于很多同学来说他心态是会比较放松，当然这时候会有各种各样的滋味在心里边。像2021年当时考完之后大家吐槽特别多的那个维纳斯，还有说数学考了一朵云的这些题目，因为它刚好就卡在两天高考的第一天，相当于告诉所有同学我们第一天考试已经结束了。我作为一个老师来给大家一个建议，希望我们今年正在参加高考的同学，平复心态，因为所有的试卷不管怎么样，你的感觉对于大家来说大家都是一样的，这个时候我们平复一下心态，好好去准备一下明天的理综、文综和英语考试，我觉得会比较好。 主持人：接下来我们是不是要言归正传，好好跟大家来解析一下2021年高考的数学题地这上边写了一个“新高考”，我特别想问为什么会有一个新高考的概念？ 肖晗：新高考，首先我们从同学们实际的课程改革方面来看的话，就是它在2021年，就是咱们国家出台了新课程改革的标准之后，像今年北京、天津、山东等地方在今年都已经启用了新高考的试卷，所以第一它的“新”字是新在这个地方，因为之前从来没有人知道新高考我们到底会怎么考，所以它是第一次正式跟大家见面了。第二点每年的高考题目，就是命题老师的出题方式，都有一些在题目的情景上或者等等方面做一些变化，我们也特别期待今年高考题它又会给同学们带来一个什么新的不同视角，再加上今年还因为疫情，我相信对于很多同学和家长来说，对今年的高考题除了紧张之外，还有一点期待在里面。话又说回来，我们说它为什么会新呢？大家都知道，我们从2020年之后把高考时间改成每年6月7号、8号，当时很多人还开玩笑，6月的7号、8号就是“录取”，到了今年因为疫情关系我们又改到7月7号和8号，这是第一个调整。第二个调整，这是今年新课程改革以来第一次试行新高考。还有一个，我相信对于很多江苏同学来说，他们特别关心的一个点江苏今年是最后一次独立命题，那它对于之后江苏的同学会造成什么样的影响，这也是大家特别关心的一个事。 主持人：对，上一场我们的节目是作业帮直播课的语文卷，那个时间段语文卷已经上了热搜，就可能有满满的情怀要跟江苏卷说再见了，因为明年就不会自主命题了。 肖晗：对，江苏和浙江这两个省份是我们国家一直在试行课程改革试行次数最多的地方，我们说课程改革对于江苏和浙江，尤其江苏这边的同学，他们对于课程改革这件事一直都会有很复杂的心情在里面。江苏最后一次独立命题，就会感觉还有那么一点舍不得的味道在里面。 主持人：我们看一看接下来带来的命题解析，这上面写的是“十套试卷”，可以给我们大家来介绍一下全国1卷、2卷、3卷等等试卷。 肖晗：对。如果不区分文理的话，今年一共有十套书卷，有全国I、II、III套试卷，这是比较常规的。还有我们刚刚提到的最后一次对立命题的江苏卷，这四套试卷跟过往是没有什么区别的。大家比较期待的关于今年的新高考，比如说浙江卷、天津卷、北京卷、上海卷、山东卷所使用的新高考I卷，还有海南省这边使用的新高考II卷，加起来一共10套试题。对于今年的高考，大家的心情就特别、特别复杂，紧张又期待，大概是这样一个情况，这是我们的全国卷。而且在这里的话，按照之前各个省份公布的课程改革的进度，我们预计到明年的时候，还会有更多的省份会加入新高考。 主持人：对，大家可以看一下我们的大屏幕，可以看到北京、上海、天津、山东、江苏、浙江、湖南、湖北、河北、辽宁、福建、广东、重庆和海南都是预计2021年新高考的地区了。 肖晗：对。我们刚刚提到今年第一次使用了高考卷之后，尤其山东这边使用的新高考I卷，它是特别有代表意义的试卷，对于现在正在上高二，下一个月即将踏入高三的同学来说他们特别期待，在整个试卷上发生了哪些变化，我们在这里就跟大家分享一下。根据我们今天拿到的试卷来看，新高考I卷在题型的分布上，跟过往我们看到的高考题变化挺大的。首先我们看选择题，大家看一下屏幕上出现的，在今年新高考I卷里面选择题出现了多选题。 主持人：学生好怕多选。 肖晗：对，它对于数学这个学科综合能力要求更高了。以前是单选题的时候，同学们做一道题，他判断完正确答案就可以了，因为正确答案是唯一的，但是现在碰到这四道题，同学们就特别紧张，到底是有两个答案还是三个答案？就完全琢不透，他只能把每个选项都仔细判断一下。选择题仍然是12道题，但是由原来12道单选题变成前面8道题是单选题，然后从第9题-第12题变成4道多选题。我们看之前很多同学做了很多准备，是山东这边的同学，他们是做了很多、很多的准备，但是这个点对于明年即将使用新高考试卷的这几个地区的同学，我们可能就要稍微关注一下了，就在未来我们需要再强化一下自己在这方面的能力。 说到数学的学科知识，希望同学们去加强自己的数学知识的综合运用能力，就是多个不同知识模块之间的联系等等这些。整体上选择题的分值是没有发生变化的，每一道题是5分，总共是60分，但是多选题里面给分，肯定会有同学出现多选或者少选，它具体怎么来给分的呢？如果说全部都选对，就是他把所有正确答案都选出来了，那就是满分5分，如果他部分选对给的是3分，如果你选到了错误的选项，那就是0分。它加了这个试卷之后，对于很多同学来说，很多同学会求稳。 主持人：对，就是我选一个，保证它对，我就不再去选第二个了。 肖晗：对。它会在这四道题里面就会加大学生的区分度。 主持人：明白，又拔高了一点。 肖晗：对。因为咱们这个对于大学来说，它会是一个选拔性的考试。对于双一流的院校，他们可能会把这个作为一个参考，因为它对学生在数学这个学科的综合运用能力的要求会更高，这是选择题这一部分，就希望各位同学之后需要认真对待一下这部分。 主持人：这是新高考1卷，就是山东考生选择题发生这样的变化，其他题型还有没有其他的变化？ 肖晗：比如我们刚才说到的全国I、II、III卷，它的命题跟过往基本是相通的，没有考查特别难或者特别偏的怪题。它在整个题目分布上也是基本上跟过往是相同的，今年大家特别关注的就是新高考。 主持人：大家都很期待想看看它的卢山真面目。 肖晗：对，这是我们说到选择题的这一部分。填空题里面出现了一个小变化，这个小变化它在2021就已经出现了，什么变化呢？它增加了一道多空的问题，我们本来是4道填空题，但是现在增加了1道什么呢？就是一题两空的问题。这个题跟2021年全国II卷的第16题是相似的，它这个之后也会作为我们在填空题里面作为一个区分度参考的问题，它给的分值还是一样，就是第一空2分，第二空3分，它改成是两小问。所以同学们在做这部分题目的时候，还是得稍微注意一下。它的第一空一般来说相对考查的难度没有那么高，同学们可以放宽心。因为现在高考命题上是一直在遵循，我们数学里面不会出现那种特别难或者特别偏的怪题，出来之后发现根本看不懂，完全不知道它在干吗，考完试之后，等到最后看答案，然后发现答案也看不懂，这种问题基本上很少了。我记得当初我参加高考的时候，我不知道您当初参加高考会不会有这种情况。 主持人：有，肯定会有这样的情况。 肖晗：以前我们参加高考的时候，考完试，很多同学就在吐槽，就这种题根本不知道它在干吗，回去看答案的时候就直接撕答案，就说“考的是什么呀”，这种题在以前出现的时候，它就属于什么呢？ 主持人：属于拔高题了。 肖晗：对，绝大部分人做不出来，能做出来的就是极少数的那一部分人，所以大家也不用太纠结这个事，这是填空题它会产生这样一个小的变化。 解答题这里，新高考关于解答题这一部分，它跟我们过往的，比如说全国I、II、III卷做对比的话，它有这样几个变化。全国I、II、III卷整个解答题里面有5道必做题，最后有2道选做题，二选一，两道题里面选一个来做。 今年新高考改成什么了呢？6道题全部都是必做题，它取消掉了选作题的概念在解答题里面。 同学们可以看一下这个屏幕上，它删掉了什么呢？过往一般的高考试卷里面，比如说全国I、II、III这三套试卷，它最后的选做题通常来说会把高中数学里面的选修4-4，对应的比如说坐标系、参数方程这样的知识板块，还有选修4-5里面的不等式选讲，它就是两个模块让你选做一个。今年新高考里面直接在解答题里面删掉了，便成了道必做题之后，它重点是来考查什么呢？就是数列、解三角形和三角函数，概率统计、立体几何、圆锥曲线就是解析几何，还有导数，就是六大板块，这是它今年跟我们过往的变化。尤其是在今年新高考I卷里面，解答题这一部分，它的第一道解答题又做了一点创新，我们建议大家碰到这种题的时候，你不要就觉得这种题我完全没有见过，这种题在数学里面也是之前在填空里面会出现的，是什么题呢？ 大家可以看一下，它会给你多个条件，比如说我给你1、2、3个条件，让你从中选一个，看看能不能满足。比如说今年山东卷考它是解三角形的一个问题，题干里面给了其他的条件，但这时候我让你从以下三个条件中选一个条件，就相当于你三选一，然后你自己给自己组一道题。如果说你选择第一个条件，那是一道题，你选择第二个条件，那又变成另外一个不同的题，你选择第三个条件它又变成另外一个不一样的题。但是它给分的方式是比较开放的，比如你选择这个条件之后来解答，如果题干里面问的是“是否存在”？就是满足条件三角形等等之类的，你选第一个条件，你发现它是存在的，根据第一个条件计算下来，那么它存在，那你正常来写也是可以给分，它也是可以给到满分。如果你选了第二个条件，第二个条件我们验证之后发现它是不存在的，那你的答题卡上写的是“不存在”，那它仍然会按照满分来给你打分的。所以它这里面做了一个小创新，相当于同学们，第一题目的出题方式伤，就是你自己来做一个组合，第二它的答案也是开放性的，根据同学自己选的不一样的条件，答案会产生不一样的方式。 比如今年山东卷考到的，它是一个节三角形的问题，那对于同学们在解三角形这个板块里面，比如说余弦定理、正弦定理，它的基本公式的运用，以及它会出现哪些题型，什么情况下优先选择正弦定理，什么情况下优先选择余弦定理，它对于同学们来说在能力上综合考查的更多。就跟我们前面说的选择题里面出现多选题，填空题中出现了一题两空的问题一样，新高考我们一开始说，今年我们单独拿一个“新”字出来，新高考这个试卷上是给我们带来新的不同的思考方向。这就是今年关于新高考试卷里面它在选择题、填空题、解答题上就特别突出的题型分布的一个变化。 主持人：这是新高考I卷的解答题。接下来要看看2021高考的热点题型。 肖晗：对。我不知道您还记不记得2021年高考题一出来之后，同学们老在那里说的，就是“维纳斯”特别火，考黄金比例的。 主持人：对。 肖晗：我记得当时好多同学在课后就说是在测我智商的黄金比例，不是让我看维纳斯。我记得III卷里面给了一朵云，就在我们刚刚说的选作题那个板块，就是它出现了一朵云的东西，好多同学考完之后，我就觉得同学们特别有才华，当时想到《大话西游》里面那个梗——“总有一天我的意中人会踏着七彩云彩来接我”，好多同学说“我今年被命题老师接走了，别找我”。从去年甚至从前年开始，数学这个学科出现了很多这样的题目。 今年根据广大同学考完试之后的反馈，今年会出现哪些不一样的题。 首先，全国I卷。因为全国I卷也是一套比较有代表性的试卷，这个图可能同学们有点不太能看得清楚。 主持人：是一个金字塔。 肖晗：它是一个金字塔。它在今年全国I卷理科第三题的位置出现了考察胡夫金字塔的问题。它其实对应的是2021年，它在同样大概相似的位置考察的是一个“维纳斯”。而且它考察的都是属于几何问题。2021年“维纳斯”里考平面几何，大概是一个估算的问题。今年考察的是立体几何的问题。但同时这里还多了一个跟2021年不太一样的地方，或者我们可以说是相通的一个地方。题干里给了一个条件，给了一个高中数学课本里没有出现过的知识点，考察同学们提取这个信息的能力。“以该四棱锥的高为边长的正方面的面积等于该四棱锥的一个侧边三角形的面积”。这句话在高中立体几何里是没有的，你要能把这道题做出来，重点是把这个条件翻译过来，其实你把它剥离掉这个题目当中给到的情境——金字塔，对于同学们来说，考察的就是高中数学里一个特别特别常规的四棱锥的问题，考了四棱锥的高，告诉它的高和侧面积的关系。根据关系列方程，这个题就考得比较常规了。 这类题是最近这几年里的一个热点题型，几乎每年都会出现相似的一个题目。这道题虽然表面上给了一个特别奇怪的或者是自己意料之外的题目的情景，但实际上你把它剥离掉这个题目里无关的信息之后，它考察的就是高中数学里的一个正四棱锥的知识。 我们根据同学的反馈，除了I卷里边有这样的题，II卷，我不知道你能不能看出下面的图里是一个什么东西。 主持人：钢琴吗？ 肖晗：对，它考察了钢琴里边的键位。我不知道今年同学在考试的时候看到这个图又想到肖邦、贝多芬的著名钢琴曲。这里把钢琴的12个键依次标记为后边这几个。 主持人：a1到a12。 肖晗：给了这三个下角标，1�Qi，＜j，＜k，＜等于12，如果满足了k-j=3且j-i=4，我们就把它叫做是原位大三和弦。但其实我是一个数学老师，我是根本不知道什么叫大三和弦。它后面又给了一个同样的（条件），不知道同学们有没有看到，它跟前面是类似的。第一个两组作差之后等于3，后面那两个作差等于4，然后后边又调了一下位置，变成了那个差值，前面是4，后面是3，我们就把它叫做原位小三和弦。它现在让我们统计这12个键构成原位大三和弦和小三和弦的个数有多少个。 这个题跟全国I卷里面的胡夫金字塔的题类似，那个题是考察立体几何，这里它下面给了a1、aj、ak，代表的下角标。同学们碰到这个题的时候从数学的角度来看，我们马上能够想到什么东西呢？就是数列。因为高中数学里特别特别典型的一个知识模块，我们数列里面都是用下角标来表示它的顺序。这个题你把它剥离之后就是考察一个数列的问题，或者我们可以说它那个下角标里是1、2……12，一共12个数字。考察的是这12个数字里，比如从1开始，哪一个减1等于3，比如4-1=3，J-I=4，哪个减4等于4呢？那就是8。所以，它其实就是找1到12个数字列出来，前两个数的差值是3，后两个数的差值是4，把所有的可能性都列出来，其实就完了。 这道题考察的是什么呢？就是数列的一个定义，考察了一个数列的概念。如果真是同学们做题，这种题相对来说是比较常规、比较基础。这些位置上产生的变化，掰着手指都能数过来。因为总共是12个，我们数一下第一组，就已经到8了。 这个题表面上给了一个钢琴键，对于数学老师的要求，不光要只会学数学，下一次可能弹钢琴，下次可能又变成了高音什么的。去年北京卷就考的是音符，因为我是一个数学老师，可能不太能表达清楚，考察的是音乐里面的音符作为考察背景，跟这个是类似的。今年I卷里面考金字塔的题型很类似。还有全国II卷的第四题。 我们能够看到这些题出现的位置都在比较靠前的位置，它给了你一个题目的情景，从这个情景里我们提取数学信息，转换为高中学到的知识模块的能力，这也是现在新课程改革里特别强调的一个点。详细说一下这个题，考的是天坛的圆丘坛，祭祀的场所分上下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石）。实际上这些东西给的都是无关的信息。 主持人：其实是你要忽略掉的。 肖晗：对，增加你的阅读量。有些同学可能考这些的时候一看还挺投入的，读到天心石，觉得天心石挺有意思，想到电视剧，想说啥？又要读一遍，很多同学都产生这样的状况。我们给的建议是剥离前面的无效信息，其实告诉你的就是上中下。关键信息在后边，“环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环增加9块”。我不知道同学们有没有见过摆多米诺骨牌，里面最中心的是9块，摆第二圈的时候又加了。 主持人：可能成了一倍，就是18块，然后继续加。 肖晗：对，之后每一次我们都加9块。这个问题又变成了，你从里边开始往外数的话，最里边的第一层是9块，再往下就加了9块，变成18块，再往下变成27块，再往下变成了27+9=36块，每一个差值是相同的，变成了高中数学的等差数列概念。 到现在全国I卷、全国II卷，甚至听同学们反馈，在III卷里也有类似这样的题目。 这是这几年高考命题里边的一个方向或者是一个比较热点的趋势。刚才我们说的几道题，给了数学里面新的题目的情景，让同学把无效的信息剥离掉，看一看它到底对应的是高中数学的哪个知识模块。 高中数学里还有另外一类题，考察什么呢？就是数学建模。我不知道你上大学的时候有没有…… 主持人：我上大学的时候没有数学，因为我是学艺术的，高考完了之后就跟数学说再见了。 肖晗：好多同学可能今天考完就跟数学再见，特别开心。 好多同学上了大学之后多少听说过大学里有各种各样的数学建模竞赛，甚至会有很多国际比赛在里边。这个数学建模说白了就是我们把生活里的很多场景用数学的方式来分析它。再比如今年由于疫情的关系，我们之前在课上也跟很多同学强调，今年肯定会出类似的题目。像这个题考察一个常用的模型，可以用于流行病学领域，给了一堆公式。给的那个数学模型的公式，K为最大确诊病例数，问前面那个公式整体等于0.95K的时候，就标志着已经初步遏制了疫情，问这时t的值等于几。
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