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由定义可知，ax=Cx:A为矩阵，C为特征值，X为特征向量。矩阵 a 乘以 X 表示向量 X（线性变换）的变换（旋转或拉伸），其效果是常数 C 乘以向量 X（即仅拉伸）。
什么是特征向量矩阵的特征向量是矩阵论中的一个重要概念，有着广泛的应用。在数学上，线性变换的特征向量（eigenvectors）是非退化向量，它们的方向在变换下保持不变。向量在这种变换下所占的比例称为它的特征值（eigenvalue）。
一个线性变换通常可以完全用它的特征值和特征向量来描述。特征空间是一组具有相同特征值的特征向量。特征向量的第一个性质线性变换的特征向量是指在变换下方向不变或仅乘以比例因子的非零向量。
与特征向量对应的特征值是与它相乘的比例因子。
特征空间是由所有具有相同特征值的特征向量组成的空间，包括零向量，但需要注意的是零向量本身并不是特征向量。
线性变换的主特征向量是对应于最大特征值的特征向量。
特征值的几何多重性是相应特征空间的维数。
有限维向量空间上的线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如，三维空间中旋转变换的特征向量是沿旋转轴的向量，对应的特征值为1，对应的特征空间包含所有平行于旋转轴的向量。本征空间是一维的，所以本征值1的几何重数为1。本征值1是旋转变换后的谱中唯一真实的本征值。
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