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n次根号n的极限怎么求？以下n^(1/n)表示n的1/n次方,即n的n次算术根。
解:当n>1时,显然
n^(1/n)-1>0.
令n^(1/n)-1=t,则t>0,由二项式定理得
n=(1+t)^n
=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n
>C(n,2)t^2
=n(n-1)t^2/2.
因此
2>(n-1)t^2
从而
t0,
n^(1/n)-1<√2/√(n-1),
lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0,
由数列极限的迫敛性得
lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0
即
lim(n→+∞)n^(1/n)=1。
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